伴随矩阵学习笔记：从代数余子式到逆矩阵

一、核心认识

伴随矩阵并不是突然出现的新概念，它本质上是把以前学过的代数余子式重新组织起来，用来构造逆矩阵。

最先要分清：

$$\boxed{\text{伴随矩阵}\neq \text{代数余子式矩阵}}$$

若矩阵 $(A=(a_{ij}))$ 的代数余子式为 $(A_{ij})$，代数余子式矩阵记为

$$C=(A_{ij})$$

那么伴随矩阵是它的转置：

$$\boxed{A^*=C^T=(A_{ij})^T}$$

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二、逆矩阵到底在解决什么问题？

设

$$A= \begin{pmatrix} 2&1\\ 4&3 \end{pmatrix}$$

并且

$$A \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u\\ v \end{pmatrix}$$

那么

$$\begin{cases} u=2x+y\\ v=4x+3y \end{cases}$$

可以理解为矩阵 $(A)$ 把

$$(x,y)\longrightarrow(u,v)$$

其中原来的 $(x,y)$ 被“混合”起来了。

而逆矩阵要解决的就是反问题：

$$(u,v)\longrightarrow(x,y)$$

即从结果恢复原来的数据。

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三、先用消元法看看逆矩阵长什么样

由

$$\begin{cases} u=2x+y\\ v=4x+3y \end{cases}$$

1. 求 $(x)$

第一式乘 $(3)$：

$$3u=6x+3y$$

减去第二式：

$$3u-v=2x$$

所以

$$x=\frac{3u-v}{2}$$

2. 求 $(y)$

第一式乘 $(-4)$：

$$-4u=-8x-4y$$

第二式乘 $(2)$：

$$2v=8x+6y$$

相加：

$$-4u+2v=2y$$

所以

$$y=\frac{-4u+2v}{2}$$

因此

$$\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \frac12 \begin{pmatrix} 3&-1\\ -4&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u\\ v \end{pmatrix}$$

所以

$$A^{-1} = \frac12 \begin{pmatrix} 3&-1\\ -4&2 \end{pmatrix}$$

而这里的

$$\begin{pmatrix} 3&-1\\ -4&2 \end{pmatrix}$$

恰好就是 $(A)$ 的伴随矩阵 $(A^*)$。

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四、伴随矩阵是怎么从代数余子式来的？

原矩阵：

$$A= \begin{pmatrix} 2&1\\ 4&3 \end{pmatrix}$$

分别计算代数余子式。

$(A_{11})$

删掉第一行、第一列：

$$A_{11}=3$$

$(A_{12})$

删掉第一行、第二列，剩下 $(4)$，再乘

$$(-1)^{1+2}=-1$$

所以

$$A_{12}=-4$$

$(A_{21})$

删掉第二行、第一列，剩下 $(1)$，再乘负号：

$$A_{21}=-1$$

$(A_{22})$

$$A_{22}=2$$

因此代数余子式矩阵是

$$C= \begin{pmatrix} 3&-4\\ -1&2 \end{pmatrix}$$

再转置：

$$C^T= \begin{pmatrix} 3&-1\\ -4&2 \end{pmatrix}$$

所以

$$\boxed{ A^*= \begin{pmatrix} 3&-1\\ -4&2 \end{pmatrix} }$$

这正是前面通过消元得到的那个矩阵。

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五、为什么代数余子式矩阵一定要“转置”？

这是理解伴随矩阵最关键的一步。

行列式按第一行展开：

$$|A| = a_{11}A_{11} +a_{12}A_{12} +\cdots +a_{1n}A_{1n}$$

也就是说：

同一行的元素，与这一行对应的代数余子式逐项相乘再相加，就得到行列式。

但矩阵乘法采用的是

$$\boxed{\text{行}\times\text{列}}$$

如果 $(A)$ 的第一行为

$$(a_{11},a_{12},\ldots,a_{1n})$$

为了让矩阵乘法直接算出

$$a_{11}A_{11} +a_{12}A_{12} +\cdots +a_{1n}A_{1n}$$

另一个矩阵的第一列必须是

$$\begin{pmatrix} A_{11}\\ A_{12}\\ \vdots\\ A_{1n} \end{pmatrix}$$

可是代数余子式矩阵里，这些数原本排在第一行：

$$(A_{11},A_{12},\ldots,A_{1n})$$

所以必须转置，把“行”变成“列”。

因此定义：

$$\boxed{A^*=(A_{ij})^T}$$

一句话理解

转置的目的，就是让矩阵乘法的“行 × 列”能够直接调用行列式展开。

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六、最核心的公式：$(AA^*=|A|E)$

仍然使用

$$A= \begin{pmatrix} 2&1\\ 4&3 \end{pmatrix}, \qquad A^*= \begin{pmatrix} 3&-1\\ -4&2 \end{pmatrix}$$

计算：

$$AA^* = \begin{pmatrix} 2&1\\ 4&3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3&-1\\ -4&2 \end{pmatrix}$$

得到

$$\begin{pmatrix} 2\cdot3+1\cdot(-4) & 2\cdot(-1)+1\cdot2 \\ 4\cdot3+3\cdot(-4) & 4\cdot(-1)+3\cdot2 \end{pmatrix}$$

即

$$\begin{pmatrix} 2&0\\ 0&2 \end{pmatrix}$$

而

$$|A|=2\cdot3-1\cdot4=2$$

所以

$$AA^* = \begin{pmatrix} |A|&0\\ 0&|A| \end{pmatrix}$$

即

$$\boxed{AA^*=|A|E}$$

其中 $(E)$ 为单位矩阵。

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七、为什么对角线是 $(|A|)$，其他位置是 $(0)$？

这是 $(AA^*=|A|E)$ 的本质。

1. 对角线：得到 $(|A|)$

例如某个对角线元素：

$$a_{i1}A_{i1} +a_{i2}A_{i2} +\cdots +a_{in}A_{in}$$

这是：

第 $(i)$ 行元素 × 第 $(i)$ 行对应的代数余子式。

根据行列式按第 $(i)$ 行展开：

$$\boxed{ a_{i1}A_{i1}+\cdots+a_{in}A_{in}=|A| }$$

所以对角线全部是 $(|A|)$。

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2. 非对角线：得到 $(0)$

例如

$$a_{11}A_{21} +a_{12}A_{22} +\cdots +a_{1n}A_{2n}$$

这里用的是：

第一行的元素 × 第二行对应的代数余子式。

可以把它理解成：

把某个行列式的一行替换成另一行后，再按这一行展开。

这样构造出的行列式中会出现两行完全相同。

而

$$\boxed{ \text{行列式有两行相同} \Rightarrow \text{行列式}=0 }$$

因此所有非对角线元素都是 $(0)$。

最终得到

$$AA^* = \begin{pmatrix} |A|&0&\cdots&0\\ 0&|A|&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&|A| \end{pmatrix}$$

即

$$\boxed{AA^*=|A|E}$$

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八、逆矩阵公式是怎么来的？

已经知道

$$AA^*=|A|E$$

如果

$$|A|\neq0$$

两边除以 $(|A|)$：

$$A\left(\frac1{|A|}A^*\right)=E$$

而逆矩阵定义为

$$AA^{-1}=E$$

因此

$$\boxed{ A^{-1}=\frac1{|A|}A^* }$$

所以这个公式不是凭空规定的，而是从

$$\boxed{AA^*=|A|E}$$

直接推出来的。

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九、为什么必须要求 $(|A|\neq0)$？

因为公式中要计算

$$\frac1{|A|}$$

若

$$|A|=0$$

就无法除以它。

因此：

$$\boxed{ A\text{ 可逆} \iff |A|\neq0 }$$

当 $(|A|=0)$ 时，即使伴随矩阵 $(A^*)$ 仍然可以计算，也不能利用它得到逆矩阵。

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十、完整逻辑链

把整章内容压缩成一条因果链：

$$\boxed{\text{代数余子式}}$$

用于行列式展开：

$$|A| = a_{i1}A_{i1} +\cdots+ a_{in}A_{in}$$$$\Downarrow$$

把所有代数余子式组成矩阵：

$$C=(A_{ij})$$$$\Downarrow$$

为了配合矩阵乘法的“行 × 列”，将其转置：

$$\boxed{A^*=C^T}$$$$\Downarrow$$

计算 $(AA^*)$：

• 同一行与自己的代数余子式配对 $(\rightarrow |A|)$
• 不同行交叉配对 $(\rightarrow 0)$

所以

$$\boxed{AA^*=|A|E}$$$$\Downarrow$$

若

$$|A|\neq0$$

则

$$\boxed{ A^{-1}=\frac1{|A|}A^* }$$

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十一、考试速记版

1. 代数余子式矩阵

$$C=(A_{ij})$$

2. 伴随矩阵

$$\boxed{A^*=(A_{ij})^T}$$

即：

先求代数余子式，再转置。

3. 核心恒等式

$$\boxed{AA^*=A^*A=|A|E}$$

4. 逆矩阵公式

当

$$|A|\neq0$$

时：

$$\boxed{ A^{-1}=\frac1{|A|}A^* }$$

5. 二阶矩阵可直接记

若

$$A= \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}$$

则

$$|A|=ad-bc$$

伴随矩阵：

$$\boxed{ A^*= \begin{pmatrix} d&-b\\ -c&a \end{pmatrix} }$$

因此

$$\boxed{ A^{-1} = \frac1{ad-bc} \begin{pmatrix} d&-b\\ -c&a \end{pmatrix} } \qquad(ad-bc\neq0)$$

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十二、最值得真正理解的一句话

伴随矩阵，就是把代数余子式重新排成适合“行 × 列”的形式，使矩阵乘法能够直接调用行列式展开：同一行配对得到 $(|A|)$，不同行配对得到 $(0)$，因此 $(AA^*=|A|E)$，再除以 $(|A|)$ 就得到逆矩阵。

可以把整章浓缩成：

$$\boxed{ \text{代数余子式} \rightarrow \text{转置组成伴随矩阵} \rightarrow AA^*=|A|E \rightarrow A^{-1}=\frac1{|A|}A^* }$$